Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 300°. Найдите меньший из них.

Две прямые при пересечении образуют четыре угла. Сумма смежных углов равна 180°, а вертикальные углы равны. Если сумма трех углов равна 300°, то мы можем найти четвертый угол, который является смежным с одним из этих трех углов. Сумма всех четырех углов равна 360°. Пусть три угла, сумма которых 300°, будут $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$. Тогда: $$\alpha + \beta + \gamma = 300^\circ$$ Четвертый угол, $$\delta$$, будет равен: $$\delta = 360^\circ - (\alpha + \beta + \gamma) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$$ Поскольку $$\delta$$ смежный с одним из углов $$\alpha$$, $$\beta$$ или $$\gamma$$, то наименьший из этих углов должен быть смежным с углом $$\delta = 60^\circ$$. Пусть это будет угол $$\alpha$$. Тогда $$\alpha + \delta = 180^\circ$$, следовательно, $$\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$. Теперь у нас есть углы $$\alpha = 120^\circ$$ и $$\delta = 60^\circ$$. Два оставшихся угла должны в сумме давать: $$\beta + \gamma = 300^\circ - \alpha = 300^\circ - 120^\circ = 180^\circ$$ Чтобы найти наименьший угол, рассмотрим случай, когда $$\beta$$ и $$\gamma$$ равны. Тогда $$\beta = \gamma = 90^\circ$$. В этом случае углы равны $$120^\circ$$, $$90^\circ$$, $$90^\circ$$ и $$60^\circ$$. Наименьший из них - $$60^\circ$$. Однако, нам нужно найти наименьший из трех углов, сумма которых равна 300°. Пусть углы будут $$x$$, $$y$$ и $$z$$, где $$x \le y \le z$$. Мы знаем, что $$x + y + z = 300^\circ$$. Четвертый угол равен $$360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$$. Значит, наименьший из трех углов должен быть больше или равен $$60^\circ$$, так как он смежный с углом в $$120^\circ$$. Допустим, наименьший угол $$x = 60^\circ$$. Тогда $$y + z = 300^\circ - 60^\circ = 240^\circ$$. Если $$y = z$$, то $$y = z = 120^\circ$$. Но это не противоречит условию, что $$x$$ - наименьший угол. Рассмотрим случай, когда один из углов равен $$60^\circ$$. Тогда смежный с ним угол равен $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$. Пусть два других угла равны $$x$$ и $$y$$. Тогда $$120^\circ + x + y = 300^\circ$$, значит $$x + y = 180^\circ$$. Чтобы найти наименьший из них, предположим, что $$x = y$$, тогда $$x = y = 90^\circ$$. Углы: $$120^\circ, 90^\circ, 90^\circ$$ и $$60^\circ$$. Таким образом, наименьший угол из трех, сумма которых 300°, может быть $$60^\circ$$ или меньше. Но мы знаем, что один из углов смежный с углом 60°, значит, этот угол равен 120°. Поэтому наименьшим углом является угол в 60°.