Существует ли граф, в котором только 3 вершины со степенями 1, 2 и 3? Приведите пример такого графа или объясните, почему такого не может быть.

Такого графа не существует.

Доказательство:

Предположим, что существует граф с тремя вершинами, имеющими степени 1, 2 и 3. Обозначим эти вершины как A, B и C, где:

• Степень вершины A равна 1.
• Степень вершины B равна 2.
• Степень вершины C равна 3.

В графе с тремя вершинами максимальная степень вершины может быть 2 (каждая вершина соединена с двумя другими). Следовательно, не может существовать вершины со степенью 3 в таком графе. Таким образом, наше предположение неверно.

Альтернативное объяснение, используя теорему о сумме степеней вершин:

Сумма степеней всех вершин графа должна быть четной (так как она равна удвоенному числу ребер). В нашем случае сумма степеней равна 1 + 2 + 3 = 6, что является четным числом. Однако, если вершина C имеет степень 3, это означает, что она должна быть соединена со всеми остальными вершинами (A и B). В этом случае вершина A, имеющая степень 1, должна быть соединена только с вершиной C. Вершина B, имеющая степень 2, должна быть соединена с двумя другими вершинами. Но если A соединена только с C, а C соединена со всеми, то B должна быть соединена и с A, и с C. Получается, что степень A равна 2, а не 1, что противоречит условию. Таким образом, такого графа не существует.