60. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12 345 см²?

Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда другая сторона равна (x+1) см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то есть x(x+1) = 12345. Получаем квадратное уравнение: $$x^2 + x - 12345 = 0$$

Решим это уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-12345) = 1 + 49380 = 49381$$

Найдём корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49381}}{2} \approx \frac{-1 + 222.218}{2} \approx 110.609$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49381}}{2} \approx \frac{-1 - 222.218}{2} \approx -111.609$$

Так как длина стороны должна быть положительным числом, то берём $$x_1 \approx 110.609$$. Однако, по условию, длины сторон должны быть выражены натуральными числами. Поскольку $$x_1$$ не является целым числом, такого прямоугольника не существует.

Ответ: Такого прямоугольника не существует.