Существуют ли такие деревья, в которых бесконечно много вершин и рёбер?

Да, существуют. Такие деревья называются бесконечными деревьями. Они могут быть построены, например, как бесконечная решётка или как граф, где каждая вершина имеет бесконечное число соседей.