13. Света загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 11, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Света, если известно, что загаданное число больше 170, но меньше 200? Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ – загаданное число. При делении $$x$$ на 11 получаем частное $$q$$ и остаток $$r$$. Тогда можно записать: $$x = 11q + r$$ По условию, остаток в 2 раза меньше частного, то есть $$r = \frac{q}{2}$$. Так как остаток должен быть целым числом, то частное $$q$$ должно быть четным. Подставим выражение для $$r$$ в первое уравнение: $$x = 11q + \frac{q}{2} = \frac{22q + q}{2} = \frac{23q}{2}$$ Так как $$x$$ – целое число, то $$q$$ должно быть четным. Пусть $$q = 2k$$, где $$k$$ – целое число. Тогда: $$x = \frac{23(2k)}{2} = 23k$$ По условию, $$170 < x < 200$$, то есть $$170 < 23k < 200$$. Разделим все части неравенства на 23: $$\frac{170}{23} < k < \frac{200}{23}$$ $$7.39 < k < 8.70$$ Так как $$k$$ – целое число, то $$k = 8$$. Тогда загаданное число $$x = 23k = 23 \cdot 8 = 184$$. Проверим: $$184 : 11 = 16$$ (частное) и $$8$$ (остаток). Остаток 8 в 2 раза меньше частного 16, что удовлетворяет условию. Также, $$170 < 184 < 200$$. Ответ: 184