Свойства равнобедренной трапеции. Доказательства.

1) Углы при каждом основании

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Дано: трапеция ABCD, BC и AD – основания, AB = CD.

Доказать: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

Доказательство:

1. а) Проведём BO || CD. Тогда ∠3 = ∠2 как соответственные углы при параллельных прямых BO и CD и секущей AD.

2. б) Так как BC || AD (по определению трапеции) и BO || CD (по построению), то четырёхугольник OBCD – параллелограмм, и по свойству параллелограмма CD = BO.

3. в) Поскольку AB = CD = BO, то треугольник АВО равнобедренный, значит, ∠1 = ∠3. Тогда ∠1 = ∠2, т. е. ∠A = ∠D.

4. г) Так как в трапеции ∠A + ∠B = ∠D + ∠C = 180°, то ∠B = ∠C.

Таким образом, в трапеции ABCD ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.

2) В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Дано: трапеция ABCD, AD и ВС – основания, AB = DC.

Доказать: АС = DB.

Доказательство:

1. а) Трапеция ABCD равнобедренная, значит, по свойству 1 ∠BAD = ∠CDA.

2. б) △ABD = △DCA по двум сторонам и углу между ними (АВ = DC по условию, сторона AD общая, ∠A = ∠D), следовательно, АС = DB, что и требовалось доказать.