Свойства степени с натуральным показателем. Часть 2. 1. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение: 1) \(11^4\cdot(11^7)^2:11^{14}\); 2) \(9^4\cdot27:3^4\). 2. Найдите значение выражения: 1) \((2\frac{2}{3})^2\cdot(\frac{3}{8})^2\); 2) \(\frac{3^{16}\cdot2^{10}}{54^8}\). 3. Представьте выражение: 1) \(9^{14}\cdot4^{26}\) в виде степени с показателем 2; 2) \(-0,125m^{15}n^{21}\) в виде степени с показателем 3. 4. Представьте выражение \(\frac{27^n+27^n+\ldots+27^n}{81}\) в виде степени с основанием 3 (в числителе 81 слагаемое). 5. Какой цифрой оканчивается значение выражения \(3^{n+1}\cdot17^n\)? 6. Сравните значения выражений \(6^{27}\) и \(14^{18}\).

1. 1) \(11^4\cdot(11^7)^2:11^{14}=11^{4+14-14}=11^4=14641\). 2) \(9^4\cdot27:3^4=(3^2)^4\cdot3^3:3^4=3^7=2187\).

2. 1) \(2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\), поэтому \((\frac{8}{3})^2(\frac{3}{8})^2=1\). 2) \(54=2\cdot3^3\), значит \(54^8=2^8\cdot3^{24}\). Тогда \(\frac{3^{16}\cdot2^{10}}{54^8}=\frac{2^2}{3^8}=\frac{4}{6561}\).

3. 1) \(9^{14}\cdot4^{26}=(3^{28})(2^{52})=(3^{14}2^{26})^2\). 2) \(-0,125m^{15}n^{21}=(-0,5m^5n^7)^3\), так как \((-0,5)^3=-0,125\).

4. В числителе 81 одинаковое слагаемое, поэтому сумма равна \(81\cdot27^n\). Деление на 81 даёт \(27^n=(3^3)^n=3^{3n}\).

5. \(3^{n+1}\cdot17^n=3\cdot(3\cdot17)^n=3\cdot51^n\). При натуральном \(n\), степени числа 51 оканчиваются цифрой 1, следовательно, всё произведение оканчивается цифрой 3.

6. \(6^{27}=(2\cdot3)^{27}=2^{27}3^{27}\), а \(14^{18}=(2\cdot7)^{18}=2^{18}7^{18}\). Сравним отношение: \(\frac{6^{27}}{14^{18}}=2^9\cdot\frac{3^{27}}{7^{18}}=2^9\cdot\frac{3^9}{(7^2)^9}=512\cdot(\frac{3}{49})^9\). Поскольку \(3^{27}>7^{18}\) (например, \(3^3=27>49\) неверно; напрямую сравнение сводится к \(6^3=216\) и \(14^2=196\)), имеем \(6^{27}=(6^3)^9>(14^2)^9=14^{18}\).

Ответ: 1) 14641; 2187; 2) 1; \(\frac{4}{6561}\); 3) \((3^{14}2^{26})^2\); \((-0,5m^5n^7)^3\); 4) \(3^{3n}\); 5) 3; 6) \(6^{27}>14^{18}\).