14. Тане надо решить 260 задач. Ежедневно она решает на одно и то же количество больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Таня ре задачи. Определите, сколько задач решила Таня в последний день, если со всеми за она справилась за 13 дней.

К сожалению, часть условия задачи отсутствует, а именно, сколько задач решила Таня в первый день. Предположим, что в первый день Таня решила $$a_1$$ задач. Так как количество задач, которое Таня решает ежедневно, увеличивается на одно и то же число, то количество задач, решенных каждый день, образует арифметическую прогрессию. Пусть d - разность арифметической прогрессии (количество задач, на которое увеличивается ежедневное количество решаемых задач). Тогда количество задач, решенных в n-й день, можно выразить как $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Общее количество задач, решенных за n дней, можно выразить как сумму арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$. В нашем случае: S_{13} = 260 n = 13 Нужно найти $$a_{13}$$. Выразим $$a_{13}$$ через $$a_1$$ и d: $$a_{13} = a_1 + 12d$$. Тогда $$S_{13} = \frac{13}{2}(a_1 + a_1 + 12d) = \frac{13}{2}(2a_1 + 12d) = 13(a_1 + 6d)$$. Получаем уравнение: $$13(a_1 + 6d) = 260$$ или $$a_1 + 6d = 20$$. Также имеем: $$a_{13} = a_1 + 12d$$. Недостаточно данных для однозначного определения $$a_{13}$$. Допустим, в первый день Таня решила 8 задач. Тогда $$a_1 = 8$$. Подставим в уравнение $$a_1 + 6d = 20$$: $$8 + 6d = 20$$; $$6d = 12$$; $$d = 2$$. Тогда $$a_{13} = a_1 + 12d = 8 + 12 \cdot 2 = 8 + 24 = 32$$. В таком случае, Таня решила в последний день 32 задачи. Ответ: 32