4) ((\tan{4x} + 1) \cdot (\sqrt{2} \sin{\frac{4x}{3}} - 1) = 0)

Чтобы решить уравнение ((\tan{4x} + 1) \cdot (\sqrt{2} \sin{\frac{4x}{3}} - 1) = 0), приравняем каждый множитель к нулю. 1) (\tan{4x} + 1 = 0) (\tan{4x} = -1) (4x = \frac{3\pi}{4} + \pi k), где k - целое число. (x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}), где k - целое число. 2) (\sqrt{2} \sin{\frac{4x}{3}} - 1 = 0) (\sqrt{2} \sin{\frac{4x}{3}} = 1) (\sin{\frac{4x}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{4x}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n) или (\frac{4x}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n), где n - целое число. (x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi n}{2}) или (x = \frac{9\pi}{16} + \frac{3\pi n}{2}), где n - целое число. Ответ: (x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}); (x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}); (x = \frac{9\pi}{16} + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z})