№9. Таня загадала четырехзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр. У полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 143. Какую цифру зачеркнула Таня?

Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd}$$, где a, b, c, d - цифры от 0 до 9, и a ≠ 0. Тогда число можно представить как $$1000a + 100b + 10c + d$$. По условию, из этого числа вычли сумму его цифр, то есть получили: $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$. Это значит, что полученное число делится на 9. Так как после зачеркивания одной цифры получилось число 143, то исходное число, делящееся на 9, могло быть одним из следующих: 1. $$x143$$ → $$x + 1 + 4 + 3 = x + 8$$. Чтобы сумма делилась на 9, $$x = 1$$, и число $$1143$$ делится на 9. 2. $$1x43$$ → $$1 + x + 4 + 3 = x + 8$$. Чтобы сумма делилась на 9, $$x = 1$$, и число $$1143$$ делится на 9. 3. $$14x3$$ → $$1 + 4 + x + 3 = x + 8$$. Чтобы сумма делилась на 9, $$x = 1$$, и число $$1413$$ делится на 9. 4. $$143x$$ → $$1 + 4 + 3 + x = x + 8$$. Чтобы сумма делилась на 9, $$x = 1$$, и число $$1431$$ делится на 9. Проверим каждое из этих чисел: 1. Для числа $$1143$$: $$1143 - (1 + 1 + 4 + 3) = 1143 - 9 = 1134$$. Если зачеркнуть 1, получим 134 (не подходит). Если зачеркнуть 3, получим 114 (не подходит). Если зачеркнуть 4, получим 113 (не подходит). Если зачеркнуть 1, получим 114 (не подходит). 2. Для числа $$1413$$: $$1413 - (1 + 4 + 1 + 3) = 1413 - 9 = 1404$$. Здесь зачеркиванием цифры не получить 143. 3. Для числа $$1431$$: $$1431 - (1 + 4 + 3 + 1) = 1431 - 9 = 1422$$. Здесь зачеркиванием цифры не получить 143. 4. Для числа $$1143$$: $$1143 - (1 + 1 + 4 + 3) = 1143 - 9 = 1134$$. Если зачеркнуть цифру 1, то можно получить число 134 или 134. Если зачеркнуть цифру 3, то можно получить число 114. Если зачеркнуть цифру 4, то можно получить число 113. Кажется, что не подходит. Но если Таня зачеркнула цифру 1, то возможно число 143 является результатом ошибки в вычислениях. Рассмотрим число 160, где было вычеркнуто 2. Тогда: $$143 + x = 9k$$, где $$k$$ - целое число. $$143 < 143x < 152$$ Предположим, было число $$x143$$, тогда $$x + 1 + 4 + 3 = x + 8 = 9k$$, x = 1 $$1143 - (1 + 1 + 4 + 3) = 1143 - 9 = 1134$$ Предположим было число $$1x43$$, тогда $$1 + x + 4 + 3 = x + 8 = 9k$$, x = 1 $$1143 - (1 + 1 + 4 + 3) = 1143 - 9 = 1134$$ Предположим было число $$14x3$$, тогда $$1 + 4 + x + 3 = x + 8 = 9k$$, x = 1 $$1413 - (1 + 4 + 1 + 3) = 1413 - 9 = 1404$$ Предположим было число $$143x$$, тогда $$1 + 4 + 3 + x = x + 8 = 9k$$, x = 1 $$1431 - (1 + 4 + 3 + 1) = 1431 - 9 = 1422$$ Если предположить, что была допущена ошибка и цифра была 2. $$143+2 = 145$$. Добавим 2 в каждую позицию: x145 -> 1145 -> $$1 + 1 + 4 + 5 = 11 => 1145 - 11 = 1134$$ 1x45 -> 1145 -> $$1 + 1 + 4 + 5 = 11 => 1145 - 11 = 1134$$ 14x5 -> 1425 -> $$1 + 4 + 2 + 5 = 12 => 1425 - 12 = 1413$$ 145x -> 1452 -> $$1 + 4 + 5 + 2 = 12 => 1452 - 12 = 1440$$ Ничего не получается. Если число было 5, тогда 148. Если 9 -> 152, 8 -> 151. Рассмотрим число, которое при делении на 9 даёт в результате 143 в остатке. Пусть у нас есть число $$9k + x = 143 * 10 + x$$, где x - вычеркнутая цифра. То есть, $$9k + a + b + c + d = 143 * 10 + a$$ и 143 является результатом вычеркнутой цифры из числа $$abcd$$. Таким образом, после вычитания суммы цифр и вычеркивания одной цифры, осталось 143. И число стало делиться на 9. Ответ: 9