1. Тело падает с некоторой высоты с нулевой начальной скоростью. За последнюю секунду своего движения тело проходит такой же путь, как и за первые две секунды падения. Найдите время и высоту падения тела. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Ответ: 2.5 c и 31.25 м

1. Пусть t - полное время падения тела. Тогда путь, пройденный за последнюю секунду, равен: \[S_\text{последняя секунда} = S(t) - S(t-1)\] где \(S(t)\) - путь, пройденный за время t, который можно выразить как: \[S(t) = \frac{gt^2}{2}\]
2. Путь, пройденный за первые две секунды: \[S_\text{первые 2 секунды} = \frac{g \cdot 2^2}{2} = \frac{4g}{2} = 2g\]
3. По условию задачи путь, пройденный за последнюю секунду, равен пути, пройденному за первые две секунды: \[S(t) - S(t-1) = S_\text{первые 2 секунды}\] \[\frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2} = 2g\]
4. Упростим уравнение, разделив обе части на g и умножив на 2: \[t^2 - (t-1)^2 = 4\] \[t^2 - (t^2 - 2t + 1) = 4\] \[2t - 1 = 4\] \[2t = 5\] \[t = 2.5 \ с\]
5. Теперь найдем высоту падения тела: \[H = \frac{gt^2}{2}\] \[H = \frac{10 \cdot (2.5)^2}{2} = \frac{10 \cdot 6.25}{2} = \frac{62.5}{2} = 31.25 \ м\]

Ответ: 2.5 c и 31.25 м