Теоретическая часть: Дифракция. Формула дифракционной решетки. Дифракционная решётка шириной 5 мм имеет 600 штрихов на 1мм. Какая минимальная длина волны может быть разрешена в третьем дифракционном порядке, если длина волны падающего света \( \lambda = 500 \) нм?

Решение:

Сначала найдём период дифракционной решётки \( d \).

Ширина решётки \( L = 5 \) мм = \( 5 \times 10^{-3} \) м.

Количество штрихов на 1 мм = 600. Значит, количество штрихов на всей ширине решётки \( N = 600 \times 5 = 3000 \) штрихов.

Период решётки \( d = \frac{L}{N} = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ м}}{3000} = \frac{5}{3000} \times 10^{-3} \text{ м} = \frac{1}{600} \times 10^{-3} \text{ м} \approx 1.67 \times 10^{-6} \text{ м}.

Формула дифракционной решётки: \( d \sin \alpha = k \lambda \), где \( d \) — период решётки, \( \alpha \) — угол дифракции, \( k \) — порядок дифракции, \( \lambda \) — длина волны.

Разрешение в дифракционном порядке означает, что \( \sin \alpha \) может принимать максимальное значение, т.е. \( \sin \alpha = 1 \) (для максимального угла, соответствующего первому минимуму после максимума).

Минимальная длина волны \( \lambda_{min} \) будет разрешена, когда \( \sin \alpha = 1 \) для данного порядка \( k \).

Мы ищем минимальную длину волны \( \lambda_{min} \), которая может быть разрешена в третьем дифракционном порядке \( (k=3) \).

Из формулы \( d \sin \alpha = k \lambda \) следует, что \( \lambda = \frac{d \sin \alpha}{k} \).

Для того чтобы найти минимальную длину волны, нам нужно найти условие разрешения. В теории дифракции условие разрешения двух близких длин волн \( \lambda \) и \( \lambda + \Delta \lambda \) в \( k \)-м порядке даётся как \( N k \) — относительная разрешающая способность, где \( N \) — общее число штрихов.

\( \Delta \lambda = \frac{\lambda}{Nk} \)

В данной задаче спрашивается о минимальной длине волны, которая может быть разрешена. Это означает, что мы ищем наименьшую длину волны, для которой существует видимый дифракционный максимум.

Мы можем переписать формулу дифракционной решетки как \( \lambda = \frac{d \sin \alpha}{k} \).

Условие, что свет с длиной волны \( \lambda_0 = 500 \) нм падает на решётку, означает, что это одна из длин волн, с которыми мы работаем.

Разрешение в \( k \)-м порядке происходит, когда мы можем различить два максимума. Минимальная длина волны, которая может быть разрешена, связана с разрешающей способностью решётки.

Разрешающая способность решётки \( R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = Nk \).

Если \( \lambda = 500 \) нм, то \( \Delta \lambda \) — это минимальное разрешение.

Задача может трактоваться как нахождение минимальной \( \lambda \) для \( k=3 \), когда \( \sin \alpha \) приближается к 1.

\( \lambda_{min} = \frac{d \sin \alpha_{max}}{k} \). Примем \( \sin \alpha_{max} = 1 \).

\( d = \frac{1}{600} \times 10^{-3} \text{ м} = \frac{10^6}{600} \text{ нм} = \frac{10000}{6} \text{ нм} \approx 1666.67 \text{ нм}.\)

\( \lambda_{min} = \frac{1666.67 \text{ нм} \times 1}{3} \approx 555.56 \text{ нм}.\)

Однако, если \( \lambda = 500 \) нм — это падающий свет, и мы хотим узнать, какая минимальная длина волны может быть разрешена в третьем порядке, то это скорее вопрос о разрешающей способности.

Пусть \( \lambda_1 = 500 \) нм. Мы ищем \( \lambda_{min} \) в третьем порядке. Условие максимальной дифракции (первый минимум после максимума) для \( \lambda_1 \) происходит при \( d \sin \alpha_1 = k \lambda_1 \).

Если \( \lambda_1 = 500 \) нм, то \( d \sin \alpha = 3 \times 500 \text{ нм} = 1500 \text{ нм} \).

\( \sin \alpha = \frac{1500 \text{ нм}}{d} = \frac{1500 \text{ нм}}{1666.67 \text{ нм}} \approx 0.9 \).

Если \( \sin \alpha = 0.9 \), то \( d \sin \alpha = 1500 \text{ нм} \).

Теперь, для минимальной разрешимой длины волны \( \lambda_{min} \) в третьем порядке, мы должны иметь \( d \sin \alpha = 3 \lambda_{min} \).

\( \lambda_{min} = \frac{d \sin \alpha}{3} = \frac{1500 \text{ нм}}{3} = 500 \text{ нм}.\)

Это означает, что при \( \lambda = 500 \) нм, максимум третьего порядка находится под углом \( \arcsin(0.9) \).

Разрешающая способность решётки \( R = Nk \).

\( N = 3000 \) (общее число штрихов).

\( k = 3 \) (порядок дифракции).

\( R = 3000 \times 3 = 9000 \).

\( R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} \).

\( \Delta \lambda = \frac{\lambda}{R} = \frac{500 \text{ нм}}{9000} = \frac{5}{90} \text{ нм} \approx 0.056 \text{ нм}.\)

Минимальная разрешимая длина волны — это \( \lambda_{min} \) такая, что \( \lambda_{min} + \Delta \lambda = \lambda \) или \( \lambda_{min} \) можно найти из условия, что \( \lambda \) и \( \lambda + \Delta \lambda \) могут быть разделены.

Если \( \lambda = 500 \text{ нм} \), и \( \Delta \lambda = 0.056 \text{ нм} \), то минимальная разрешимая длина волны, которая может быть отделена от 500 нм, будет \( 500 - 0.056 = 499.944 \) нм.

Другая интерпретация: «минимальная длина волны может быть разрешена» — это значит, что для этой длины волны возможно существование третьего дифракционного максимума.

Для существования k-го максимума должно выполняться условие \( d \sin \alpha = k \lambda \). Так как \( \sin \alpha \le 1 \), то \( d \ge k \lambda \) или \( \lambda \le \frac{d}{k} \).

\( \lambda_{min} \le \frac{d}{k} = \frac{1666.67 \text{ нм}}{3} \approx 555.56 \text{ нм}.\)

Следовательно, минимальная длина волны, которая может быть разрешена в третьем порядке, равна \( \approx 555.56 \text{ нм} \).

Однако, если есть падающий свет \( \lambda = 500 \text{ нм} \), и нам нужно найти минимальную длину волны, разрешаемую в третьем порядке, то, скорее всего, речь идёт о разрешающей способности.

Условие разрешения: \( \Delta \lambda = \frac{\lambda_{min}}{Nk} \).

Если \( \lambda = 500 \text{ нм} \) — это одна из длин волн, которую мы можем различить, и \( k=3 \), \( N=3000 \).

\( \Delta \lambda = \frac{500 \text{ нм}}{3000 \times 3} = \frac{500}{9000} \text{ нм} = \frac{5}{90} \text{ нм} \approx 0.056 \text{ нм}.\)

Это значит, что мы можем различить волны, отличающиеся на \( 0.056 \text{ нм} \) в третьем порядке, если одна из них \( 500 \text{ нм} \).

Возможно, вопрос стоит так: какая минимальная длина волны \( \lambda_{min} \) может сформировать максимум 3-го порядка? Это когда \( \sin \alpha = 1 \).

\( \lambda_{min} = \frac{d}{k} = \frac{1666.67 \text{ нм}}{3} \approx 555.56 \text{ нм}.\)

Если в условии сказано: «длина волны падающего света \( \lambda = 500 \text{ нм} \)», то это может быть контекст, а вопрос о минимальной разрешимой длине волны.

Рассмотрим формулу \( d \sin \alpha = k \lambda \). Максимальный \( \sin \alpha = 1 \).

\( d = \frac{5 \text{ мм}}{600 \times 5} = \frac{5 \text{ мм}}{3000} = \frac{1}{600} \text{ мм} = \frac{10^6}{600} \text{ нм} = \frac{10000}{6} \text{ нм} \approx 1666.67 \text{ нм}.\)

Для k=3, \( \lambda_{min} = \frac{d}{k} = \frac{1666.67 \text{ нм}}{3} \approx 555.56 \text{ нм}.\)

Ответ, вероятно, 555.56 нм.

Если же вопрос в том, какая минимальная длина волны \( \lambda \) может быть разрешена, если \( \lambda_0 = 500 \text{ нм} \) — это одна из длин волн, то \( \lambda = \frac{d \sin \alpha}{k} \).

Разрешение: \( \Delta \lambda = \frac{\lambda}{Nk} \).

Ищем \( \lambda_{min} \) такое, что \( \lambda_{min} \) может быть отделена от соседней волны \( \lambda_{min} + \Delta \lambda \).

Свяжем \( \lambda = 500 \text{ нм} \) с \( k=3 \): \( d \sin \alpha = 3 \times 500 \text{ нм} \).

\( \sin \alpha = \frac{1500}{1666.67} \approx 0.9 \).

Разрешающая способность \( R = Nk = 3000 \times 3 = 9000 \).

\( \Delta \lambda = \frac{\lambda}{R} = \frac{500}{9000} \text{ нм} \approx 0.056 \text{ нм}.\)

Это означает, что в третьем порядке мы можем различить волны, отличающиеся на \( 0.056 \text{ нм} \), если одна из них \( 500 \text{ нм} \).

Возможно, имеется в виду, какая минимальная длина волны \( \lambda_{min} \) будет разрешена, если \( \lambda = 500 \text{ нм} \) — это наименьшая возможная длина волны, которую мы можем наблюдать в третьем порядке.

Если \( \lambda = 500 \text{ нм} \) — это наименьшая длина волны, которую мы можем наблюдать, то это и есть ответ.

Но обычно вопрос о минимальной разрешимой длине волны связан с \( \lambda_{min} = d/k \) при \( \sin \alpha = 1 \).

\( d = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ м}}{3000} = \frac{5}{3} \times 10^{-6} \text{ м} \).

\( k=3 \).

\( \lambda_{min} = \frac{d}{k} = \frac{5/3 \times 10^{-6} \text{ м}}{3} = \frac{5}{9} \times 10^{-6} \text{ м} = \frac{5000}{9} \text{ нм}
\approx 555.56 \text{ нм}.\)

Если падающая длина волны \( \lambda = 500 \text{ нм} \), и мы хотим найти минимальную разрешимую длину волны в третьем порядке, это может означать, что \( \lambda = 500 \text{ нм} \) — это одна из волн, которые мы можем различить.

Пусть \( \lambda_1 = 500 \text{ нм} \) и \( \lambda_2 = \lambda_{min} \).

\( \frac{\lambda_1}{\Delta \lambda} = \frac{\lambda_2}{\Delta \lambda} = Nk \).

\( \frac{500 \text{ нм}}{\Delta \lambda} = 3000 \times 3 = 9000 \).

\( \Delta \lambda = \frac{500}{9000} \text{ нм} \approx 0.056 \text{ нм}.\)

Тогда \( \lambda_{min} = 500 \text{ нм} - \Delta \lambda = 500 - 0.056 \approx 499.944 \text{ нм}.\)

Но это, скорее всего, не то, что спрашивается. Обычно вопрос о минимальной разрешимой длине волны для решетки относится к ее способности разделять близкие длины волн.

Наиболее вероятный ответ: \( \frac{d}{k} \) когда \( \boldsymbol{\sin \alpha = 1} \).

\( d = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ м}}{600 \times 5} = \frac{5 \times 10^{-3}}{3000} \text{ м} = \frac{5}{3} \times 10^{-6} \text{ м} \cdot \frac{10^9 \text{ нм}}{1 \text{ м}} = \frac{5000}{3} \text{ нм} \approx 1666.67 \text{ нм}.\)

\( k=3 \).

\( \lambda_{min} = \frac{d}{k} = \frac{5000/3 \text{ нм}}{3} = \frac{5000}{9} \text{ нм} \approx 555.56 \text{ нм}.\)

Ответ: \( \(\approx\) 555.56 \(\u\)005Ctext{ нм}.