Теплохід пройшов 5 км за течією річки і 8 км проти течії. На шлях за течією річки він затратив часу на 10 хв менше, ніж на шлях проти течії. Знайдіть швидкість теплохода у стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.

Розв'яжемо цю задачу. Нехай $$v$$ км/год - власна швидкість теплохода. Тоді швидкість теплохода за течією річки становить $$(v + 3)$$ км/год, а проти течії - $$(v - 3)$$ км/год. Час, який теплохід витратив на шлях за течією, дорівнює $$\frac{5}{v+3}$$ год, а час, витрачений на шлях проти течії, дорівнює $$\frac{8}{v-3}$$ год. За умовою задачі, час на шлях за течією на 10 хвилин менший, ніж час на шлях проти течії. Оскільки 10 хвилин = $$\frac{1}{6}$$ години, маємо рівняння: $$\frac{8}{v-3} - \frac{5}{v+3} = \frac{1}{6}$$ Помножимо обидві частини рівняння на $$6(v-3)(v+3)$$: $$6(8(v+3) - 5(v-3)) = (v-3)(v+3)$$ $$6(8v + 24 - 5v + 15) = v^2 - 9$$ $$6(3v + 39) = v^2 - 9$$ $$18v + 234 = v^2 - 9$$ $$v^2 - 18v - 243 = 0$$ Розв'яжемо квадратне рівняння. Дискримінант $$D = (-18)^2 - 4(1)(-243) = 324 + 972 = 1296$$. Тоді $$v = \frac{18 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{18 \pm 36}{2}$$. $$v_1 = \frac{18 + 36}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ $$v_2 = \frac{18 - 36}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ Оскільки швидкість не може бути від'ємною, $$v = 27$$ км/год. Відповідь: 27 км/год