20. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 15 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $$v$$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $$(v + 4)$$ км/ч, а против течения $$(v - 4)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{15}{v + 4}$$ часов.

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{15}{v - 4}$$ часов.

Из условия известно, что общее время в пути и стоянки составляет 13 часов, а стоянка длится 4 часа. Следовательно, время в пути составляет $$13 - 4 = 9$$ часов.

Составим уравнение:

$$\frac{15}{v + 4} + \frac{15}{v - 4} = 9$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{15(v - 4) + 15(v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 9$$

$$\frac{15v - 60 + 15v + 60}{v^2 - 16} = 9$$

$$\frac{30v}{v^2 - 16} = 9$$

$$30v = 9(v^2 - 16)$$

$$30v = 9v^2 - 144$$

$$9v^2 - 30v - 144 = 0$$

Разделим на 3:

$$3v^2 - 10v - 48 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$v = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(-48)}}{2(3)}$$

$$v = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 576}}{6}$$

$$v = \frac{10 \pm \sqrt{676}}{6}$$

$$v = \frac{10 \pm 26}{6}$$

$$v_1 = \frac{10 + 26}{6} = \frac{36}{6} = 6$$

$$v_2 = \frac{10 - 26}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 6$$ км/ч.

Ответ: 6