14. Тип 14 № 394401. Для асфальтирования участка длиной 99 м используются 2 катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, второй — в противоположном. Работать они начали одновременно. Первый каток в каждую минуту проходил 5 м, а второй каток за первую минуту прошел 1,5 м, а за каждую следующую минуту проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Через сколько минут катки встретились?

Пусть t - время в минутах, через которое катки встретились. Расстояние, которое прошел первый каток: 5t Расстояние, которое прошел второй каток: 1.5 + (1.5 + 0.5) + (1.5 + 2*0.5) + ... + (1.5 + (t-1)*0.5) Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 1.5 и разностью d = 0.5. Сумма первых t членов арифметической прогрессии равна: S = \frac{t(2a₁ + (t-1)d)}{2} S = \frac{t(2 * 1.5 + (t-1) * 0.5)}{2} S = \frac{t(3 + 0.5t - 0.5)}{2} S = \frac{t(2.5 + 0.5t)}{2} Сумма расстояний, пройденных обоими катками, равна длине участка: 5t + \frac{t(2.5 + 0.5t)}{2} = 99 Умножим обе части на 2: 10t + t(2.5 + 0.5t) = 198 10t + 2.5t + 0.5t² = 198 0.5t² + 12.5t - 198 = 0 Умножим обе части на 2: t² + 25t - 396 = 0 Решим квадратное уравнение: D = 25² - 4 * 1 * (-396) = 625 + 1584 = 2209 \sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47 t₁ = \frac{-25 + 47}{2} = \frac{22}{2} = 11 t₂ = \frac{-25 - 47}{2} = \frac{-72}{2} = -36 (не подходит, так как время не может быть отрицательным) Следовательно, t = 11 Ответ: **11**