25. Тип 13 № 791 i Углы треугольника АВС относятся так: ДА: ДВ: ДС = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС. Запишите решение и ответ.

Смотри, тут всё просто: у нас есть треугольник ABC, углы которого относятся как 1:2:3, и биссектриса BM.

Разбираемся:

1. Найдем углы треугольника. Пусть углы равны x, 2x и 3x. Сумма углов треугольника равна 180°: \[x + 2x + 3x = 180^\circ\] \[6x = 180^\circ\] \[x = 30^\circ\] Тогда углы равны: A = 30°, B = 60°, C = 90°.
2. Треугольник ABC — прямоугольный с углом C = 90°.
3. BM — биссектриса угла ABC, значит, угол ABM = CBM = 30°.
4. Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM = 30°, угол ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM — равнобедренный, и AM = BM = 6.
5. Применим свойство биссектрисы в треугольнике ABC: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}\]
6. В прямоугольном треугольнике ABC: \[\angle A = 30^\circ\] Значит, катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB: \[BC = \frac{1}{2} AB\] \[\frac{AB}{BC} = 2\] Тогда: \[\frac{AM}{MC} = 2\] \[\frac{6}{MC} = 2\] \[MC = \frac{6}{2} = 3\]

Ответ: 3

Проверка за 10 секунд: Углы 30°, 60°, 90°, треугольник прямоугольный, AM = BM = 6, BC = 1/2 AB, применяем свойство биссектрисы для нахождения MC.