24. Тип 13 № 790 i В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС.

Смотри, тут всё просто: у нас есть равнобедренный треугольник ABC с углом A равным 120°, и высота, проведённая из вершины B.

Разбираемся:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем углы B и C: \[B = C = \frac{180^\circ - A}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\]
2. Проведем высоту BH из вершины B. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
3. В прямоугольном треугольнике ABH, угол A равен 120°, значит угол ABH равен 30°. Выразим AH через тангенс угла ABH: \[\tan 30^\circ = \frac{AH}{BH}\] \[AH = BH \cdot \tan 30^\circ = 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{13\sqrt{3}}{3}\]
4. Так как треугольник ABC равнобедренный, то H является серединой AC. Следовательно: \[AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{13\sqrt{3}}{3} = \frac{26\sqrt{3}}{3}\]
5. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC.
6. Теперь рассмотрим треугольник АBC. По теореме косинусов: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\] Подставляем известные значения: \[BC^2 = \left(\frac{26\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{26\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{26\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{26\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 120^\circ\] \[BC^2 = 2 \cdot \left(\frac{26\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{26\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[BC^2 = 2 \cdot \frac{26^2 \cdot 3}{9} + \frac{26^2 \cdot 3}{9} = 3 \cdot \frac{26^2 \cdot 3}{9} = \frac{26^2 \cdot 3}{3} = 26^2\] \[BC = \sqrt{26^2} = 26\]

Ответ: 26

Проверка за 10 секунд: Углы при основании равны 30°, выражаем AH через тангенс 30°, находим AC как 2AH, применяем теорему косинусов для нахождения BC.