21 Тип 21 № 311245 i Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Пусть скорость течения реки равна $$v$$, тогда скорость катера в стоячей воде равна $$4v$$. Обозначим расстояние между пунктами А и В как $$S$$.

Плот движется со скоростью течения реки, то есть $$v$$. Катер движется против течения со скоростью $$4v - v = 3v$$. Когда катер возвращается, он движется по течению со скоростью $$4v + v = 5v$$.

Пусть $$t_1$$ - время до встречи катера с плотом. Место встречи обозначим C.

$$vt_1 + (4v - v)t_1 = S$$

$$vt_1 + 3vt_1 = S$$$$4vt_1 = S$$

$$t_1 = \frac{S}{4v}$$

Расстояние, которое проплыл плот до встречи с катером, равно:

$$S_{пл} = vt_1 = v \cdot \frac{S}{4v} = \frac{S}{4}$$

Расстояние, которое проплыл катер до встречи с плотом, равно:

$$S_{кат} = 3vt_1 = 3v \cdot \frac{S}{4v} = \frac{3S}{4}$$

После встречи катер поворачивает и плывет обратно в пункт B. Время обратного пути катера равно $$t_2$$.

$$S_{кат} = 5vt_2 = \frac{3S}{4}$$

$$t_2 = \frac{3S}{4 \cdot 5v} = \frac{3S}{20v}$$

За время $$t_2$$ плот проплывет расстояние:

$$S_{пл2} = vt_2 = v \cdot \frac{3S}{20v} = \frac{3S}{20}$$

Общее расстояние, которое проплыл плот к моменту возвращения катера в пункт B:

$$S_{общ} = S_{пл} + S_{пл2} = \frac{S}{4} + \frac{3S}{20} = \frac{5S + 3S}{20} = \frac{8S}{20} = \frac{2S}{5}$$

Какую часть пути от A до B пройдет плот:

$$\frac{S_{общ}}{S} = \frac{\frac{2S}{5}}{S} = \frac{2}{5}$$

Ответ: 2/5