20 Тип 20 № 357583 i Решите уравнение х⁴ = (4х - 5)².

Решим уравнение $$x^4 = (4x - 5)^2$$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x^2 = |4x - 5|$$

Рассмотрим два случая:

1) $$4x - 5 \ge 0$$, тогда $$x^2 = 4x - 5$$

$$x^2 - 4x + 5 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$

Так как дискриминант отрицательный, то в этом случае уравнение не имеет решений.

2) $$4x - 5 < 0$$, тогда $$x^2 = -(4x - 5)$$

$$x^2 = -4x + 5$$

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Проверим условия:

Для $$x_1 = 1$$, $$4x - 5 = 4 \cdot 1 - 5 = -1 < 0$$, условие выполняется.

Для $$x_2 = -5$$, $$4x - 5 = 4 \cdot (-5) - 5 = -20 - 5 = -25 < 0$$, условие выполняется.

Оба корня подходят.

Ответ: -5; 1