18. Тип 18 № 2791 i К окружности с диаметром АВ в точке А проведена касательная. Через точку В проведена прямая, пересека- ющая окружность в точке С и касательную в точке К. Через точку D проведена хорда CD параллельно АВ так, что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую АК в точке Е. Найдите радиус окружности, если прямые DE и ВС параллельны, ∠EDC = 30° и КВ = 14√3.

Обозначим радиус окружности как $$r$$. Тогда $$AB = 2r$$. Так как $$DE \parallel BC$$, то $$ \angle EDB = \angle DBC $$. Также дано, что $$ \angle EDC = 30^\circ $$.

Поскольку $$DE$$ — касательная к окружности в точке $$D$$, то $$ \angle EDA = 90^\circ $$.

Так как $$CD \parallel AB$$, то $$ \angle CDB = \angle DBA $$. Обозначим $$ \angle DBA = \alpha $$. Тогда $$ \angle CDB = \alpha $$.

Так как $$DE \parallel BC$$, то $$ \angle EDC = \angle BCA = 30^\circ $$. Поскольку $$AB$$ — диаметр, $$ \angle ACB = 90^\circ $$. Тогда $$ \angle CBA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $$.

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$: $$ \angle BAK = 90^\circ $$, $$ \angle ABK = 60^\circ $$. Тогда $$AK = AB \cdot tg(60^\circ) = 2r \cdot \sqrt{3} $$.

По условию, $$KB = 14\sqrt{3} $$. В прямоугольном треугольнике $$ABK$$: $$ tg(\angle ABK) = \frac{AK}{AB}$$, следовательно, $$ AK = AB \cdot tg(\angle ABK)$$. $$ AK = AB \cdot tg(60^\circ) = 2r \cdot \sqrt{3}$$.

Так как $$\angle EDC = 30^\circ $$ и $$DE \parallel BC$$, то $$ \angle BCA = 30^\circ $$.

Рассмотрим треугольник $$ABK$$. $$ \angle BAK = 90^\circ $$, $$ \angle ABK = 60^\circ $$, $$KB = 14\sqrt{3} $$. Следовательно, $$ AB = \frac{KB}{cos(60^\circ)} = \frac{14\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 28\sqrt{3}$$.

Радиус $$r = \frac{AB}{2} = \frac{28\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$$.

Ответ: $$14\sqrt{3}$$