18 Тип 17 № 2071 i Коля и Оля не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 4. Коля делает так: \(\frac{6}{8} = \frac{6-3}{8-4} = \frac{3}{4}\). Оля считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Оля делает так: \(\frac{4}{6} = \frac{4-2}{6-3} = \frac{2}{3}\). Коля и Оля (не обязательно по очереди) пятнадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2019}{2018}\) по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1968. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть Коля выполнил x операций, а Оля выполнила y операций, тогда x + y = 15. После применения правил Коли и Оли дробь \(\frac{2019}{2018}\) превратилась в дробь со знаменателем 1968. При каждой операции Коли числитель уменьшается на 3, а знаменатель на 4. При каждой операции Оли числитель уменьшается на 2, а знаменатель на 3. Тогда знаменатель после 15 операций будет равен: 2018 - 4x - 3y = 1968. Из этого уравнения найдем соотношение между x и y. Выразим y через x, используя первое уравнение: y = 15 - x. Подставим это выражение во второе уравнение: 2018 - 4x - 3(15 - x) = 1968 2018 - 4x - 45 + 3x = 1968 1973 - x = 1968 x = 1973 - 1968 x = 5 Теперь найдем y: y = 15 - x = 15 - 5 = 10. Значит, Коля выполнил 5 операций, а Оля выполнила 10 операций. Найдем числитель дроби после этих операций: 2019 - 3x - 2y = 2019 - 3 * 5 - 2 * 10 = 2019 - 15 - 20 = 1984. Ответ: 1984