8 Тип 7 № 12290 i На клетчатой бумаге с раз- мером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градус- ную меру угла АВС.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике и теоремой о сумме углов в треугольнике.

1. Рассмотрим треугольник, образованный точками B, C и точкой, находящейся на той же горизонтали, что и точка B, и на той же вертикали, что и точка С. Обозначим эту точку D.

         B
         ●
         │  /
         │ /
         │/   BC = √8
       4 │
         │
         ●------● C
         D   2
   

   Треугольник BCD - прямоугольный, где угол BDC = 90°. Катет BD = 4, катет CD = 2. Тангенс угла CBD равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg∠CBD = \frac{CD}{BD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$$

2. Аналогично рассмотрим треугольник AEF, где E находится на той же горизонтали, что и A, и на той же вертикали, что и B, а F находится на той же вертикали, что и A, и на той же горизонтали, что и C.

         B   E  A
         ●---●--●
         │   │ /
         │   │/
         │ 1 │/ √2
       4 │   │
         │   │
         ●---● C
         F   1

   Треугольник AEF - прямоугольный, где угол AFE = 90°. Катет AE = 2, катет EF = 2. Тангенс угла CAE равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg∠CAE = \frac{EF}{AE} = \frac{2}{2} = 1$$

3. Следовательно, угол CAE = 45°.

4. Угол CBD, тангенс которого равен 0.5, приблизительно равен 26.57°.

5. Угол ABC = 180° - (угол CBD + угол CAE) = 180° - (26.57° + 45°) = 180° - 71.57° = 108.43°.

6. Округлим до ближайшего целого числа: 108°.

Ответ: 108