7. Тип 7 № 4348 i Найдите значение выражения $$\frac{(3x^3)^4}{a^4} \cdot (\frac{a^5}{3x^4})^3$$, при $$a = \frac{1}{4}$$, и $$x = -1.25$$.

Найдем значение выражения $$\frac{(3x^3)^4}{a^4} \cdot (\frac{a^5}{3x^4})^3$$, при $$a = \frac{1}{4}$$, и $$x = -1.25$$.

1. Упростим выражение:

$$\frac{(3x^3)^4}{a^4} \cdot (\frac{a^5}{3x^4})^3 = \frac{3^4x^{3\cdot4}}{a^4} \cdot \frac{a^{5\cdot3}}{3^3x^{4\cdot3}} = \frac{81x^{12}}{a^4} \cdot \frac{a^{15}}{27x^{12}} = \frac{81a^{15}x^{12}}{27a^4x^{12}} = 3a^{11}$$

2. Подставим значения $$a = \frac{1}{4}$$ в упрощенное выражение:

$$3a^{11} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{11} = \frac{3}{4^{11}} = \frac{3}{4194304}$$.

Чтобы было более понятно, распишем решение:

1. Возведем в степень каждое выражение в скобках:

$$(3x^3)^4 = 3^4 \cdot (x^3)^4 = 81x^{12}$$;

$$(a^5)^3 = a^{15}$$;

$$(3x^4)^3 = 3^3 \cdot (x^4)^3 = 27x^{12}$$;

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$$\frac{81x^{12}}{a^4} \cdot \frac{a^{15}}{27x^{12}} = \frac{81 \cdot x^{12} \cdot a^{15}}{a^4 \cdot 27 \cdot x^{12}}$$;

3. Сократим выражение, разделив числитель и знаменатель на $$x^{12}$$:

$$\frac{81a^{15}}{27a^4}$$;

4. Разделим числитель и знаменатель на 27:

$$\frac{3a^{15}}{a^4}$$;

5. Сократим выражение, разделив числитель и знаменатель на $$a^4$$:

$$3a^{11}$$;

6. Вычислим значение при $$a = \frac{1}{4}$$:

$$3 \cdot (\frac{1}{4})^{11} = \frac{3}{4^{11}} = \frac{3}{4194304}$$;

7. Округлим полученное значение до тысячных:

$$\frac{3}{4194304} \approx 0.000000715$$.

Ответ: $$\frac{3}{4194304}$$