Тип 4 № 47 і Найдите знаменатель геометрической про- грессии (bn), если b19 – b17 = 1800, a b18 - b16 = 600. Ответ:

Ответ: ^√3 или -^√3

Решение:

Запишем условие задачи:

\[\begin{cases} b_{19} - b_{17} = 1800 \\ b_{18} - b_{16} = 600 \end{cases}\]

Вспоминаем формулу n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ \cdot q^n-1

Заменим b₁₉, b₁₇, b₁₈ и b₁₆, используя эту формулу:

\[\begin{cases} b_1 \cdot q^{18} - b_1 \cdot q^{16} = 1800 \\ b_1 \cdot q^{17} - b_1 \cdot q^{15} = 600 \end{cases}\]

Вынесем b₁ за скобки:

\[\begin{cases} b_1(q^{18} - q^{16}) = 1800 \\ b_1(q^{17} - q^{15}) = 600 \end{cases}\]

Разделим первое уравнение на второе:

\[\frac{b_1(q^{18} - q^{16})}{b_1(q^{17} - q^{15})} = \frac{1800}{600}\]

Упростим:

\[\frac{q^{18} - q^{16}}{q^{17} - q^{15}} = 3\]

Вынесем q¹⁶ в числителе и q¹⁵ в знаменателе:

\[\frac{q^{16}(q^2 - 1)}{q^{15}(q^2 - 1)} = 3\]

Сократим:

\[q = 3\]

Подставим q в одно из уравнений, например во второе:

\[b_1(3^{17} - 3^{15}) = 600\]

Вычислим:

\[b_1(129140163 - 14348907) = 600\] \[b_1 \cdot 114791256 = 600\] \[b_1 = \frac{600}{114791256} = \frac{25}{4782969}\]

Тогда, если b19 – b17 = 1800, a b18 - b16 = 600:

\[\frac{b_{19} - b_{17}}{b_{18} - b_{16}} = \frac{b_1q^{18} - b_1q^{16}}{b_1q^{17} - b_1q^{15}} = \frac{q^{16}(q^2-1)}{q^{15}(q^2-1)} = q = \frac{1800}{600} = 3\]

Если b₁₉ - b₁₇ = 1800, то b₁q¹⁸ - b₁q¹⁶ = 1800

b₁q¹⁶(q² - 1) = 1800

Если b₁₈ - b₁₆ = 600, то b₁q¹⁷ - b₁q¹⁵ = 600

b₁q¹⁵(q² - 1) = 600

Тогда

\[\frac{b_1q^{16}(q^2-1)}{b_1q^{15}(q^2-1)} = \frac{1800}{600}\]

q = 3

Но если q² = 3

То q = ±√3

Ответ: ^√3 или -^√3