18. Тип 17 № 2039 i Олег и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Олег думает, что нужно от числителя отнять 4, а от знаменателя отнять 3. Олег делает так: $$\frac{6}{8} = \frac{6-4}{8-3} = \frac{2}{5}$$. Аня считает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: $$\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}$$. Олег и Аня (не обязательно по очереди) тридцать раз «сократили» дробь $$\frac{2018}{2019}$$ по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1952. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ - количество раз, которое Олег «сократил» дробь, и $$y$$ - количество раз, которое Аня «сократила» дробь. Тогда $$x + y = 30$$. После $$x$$ операций Олега и $$y$$ операций Ани, дробь $$\frac{2018}{2019}$$ превратилась в дробь со знаменателем 1952. Следовательно: $$2019 - 3x - 2y = 1952$$ $$3x + 2y = 2019 - 1952 = 67$$ У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 30 \\ 3x + 2y = 67 \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 2 и вычтем его из второго уравнения: $$3x + 2y - 2(x + y) = 67 - 2 \cdot 30$$ $$3x + 2y - 2x - 2y = 67 - 60$$ $$x = 7$$ Теперь найдем $$y$$: $$y = 30 - x = 30 - 7 = 23$$ Таким образом, Олег «сократил» дробь 7 раз, а Аня - 23 раза. Теперь найдем числитель получившейся дроби: $$2018 - 4x - 3y = 2018 - 4 \cdot 7 - 3 \cdot 23 = 2018 - 28 - 69 = 2018 - 97 = 1921$$ Ответ: 1921