10 Тип 10 № 7450 i Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований раве √2 Найдите площадь трапеции.

Ответ: 45√2

1. Обозначим основания трапеции как \(a = 18\) и \(b = 12\), а боковую сторону как \(c = 6\).
2. Тангенс угла между боковой стороной и основанием равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Обозначим этот угол как \(\alpha\). Тогда \(\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}\).
3. Проведем высоту \(h\) из вершины верхнего основания к нижнему. Тогда \(\tan(\alpha) = \frac{h}{x}\), где \(x\) - проекция боковой стороны на большее основание.
4. Выразим высоту \(h\) через \(x\): \(h = x \cdot \tan(\alpha) = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\).
5. По теореме Пифагора, \(h^2 + x^2 = c^2\), где \(c = 6\). Подставим выражение для \(h\):
6. \(\left(x \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + x^2 = 6^2\)
7. \(\frac{2}{16}x^2 + x^2 = 36\)
8. \(\frac{1}{8}x^2 + x^2 = 36\)
9. \(\frac{9}{8}x^2 = 36\)
10. \(x^2 = \frac{36 \cdot 8}{9} = 4 \cdot 8 = 32\)
11. \(x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
12. Теперь найдем высоту \(h\): \(h = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 2\)
13. Площадь трапеции равна \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{18 + 12}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{30}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 15 \cdot 3\sqrt{2} = 45\sqrt{2}\)

Ответ: 45√2