8. Тип 22 № 338288 i Постройте график функции у=\frac{(х+4)(x2+3x+2)}{x+1} и определите, при каких значениях и прямая у =т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Прежде чем строить график функции, упростим её выражение:

$$y = \frac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1}$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$$

Тогда функция примет вид:

$$y = \frac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1}$$

Сократим на (x+1), но учтем, что x ≠ -1:

$$y = (x+4)(x+2), \text{ при } x
eq -1$$

Раскроем скобки:

$$y = x^2 + 6x + 8$$

Это парабола с выколотой точкой при x = -1.

Найдем вершину параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(1)} = -3$$

$$y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$$

Вершина параболы: (-3; -1).

Найдем значение функции в выколотой точке x = -1:

$$y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$$

То есть, точка (-1; 3) выколота.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Прямая y = m проходит через вершину параболы, но вершина не выколота. Значит, прямая y = -1 имеет с графиком одну общую точку.
2. Прямая y = m проходит через выколотую точку (-1; 3). Значит, прямая y = 3 не имеет общих точек.
3. Прямая y = m касается параболы в ее вершине.

Следовательно, прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если m = -1 (вершина параболы).

Рассмотрим случай, когда прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них выколота.

Прямая не имеет общих точек, если она проходит через выколотую точку: m=3

Ответ: m = -1