8. Тип 15 № 508462 i Решите неравенство: 2log2x + xlos2x < 256.

Давай разберем по порядку, как решить это неравенство. Сначала рассмотрим неравенство: \[2^{\log_2{x}} + x^{\log_2{x}} \leq 256\] Мы знаем, что \(a^{\log_a{b}} = b\), поэтому \(2^{\log_2{x}} = x\). \[x + x^{\log_2{x}} \leq 256\] Пусть \(y = \log_2{x}\), тогда \(x = 2^y\). Подставим это в неравенство: \[2^y + (2^y)^y \leq 256\] \[2^y + 2^{y^2} \leq 2^8\] Посмотрим на это неравенство. Заметим, что если \(y = 3\), то \(2^3 + 2^{3^2} = 8 + 2^9 = 8 + 512 = 520 > 256\). Значит, \(y\) должно быть меньше 3. Если \(y = 2\), то \(2^2 + 2^{2^2} = 4 + 2^4 = 4 + 16 = 20 < 256\). Если \(y = 4\), то \(2^4 + 2^{4^2} = 16 + 2^{16} = 16 + 65536 > 256\). Следовательно, \(y < 3\). Заметим, что если \(x = 16\), то \(\log_2{16} = 4\). Тогда: \[16 + 16^{\log_2{16}} = 16 + 16^4 = 16 + 65536 > 256\] Если \(x = 4\), то \(\log_2{4} = 2\). Тогда: \[4 + 4^{\log_2{4}} = 4 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \leq 256\] Пусть \(f(x) = x + x^{\log_2{x}}\}. Функция возрастающая при \(x > 1\). При \(x = 256\): \[256 + 256^{\log_2{256}} = 256 + 256^8 > 256\] ОДЗ: \(x > 0\). При \(x=1\): \(1 + 1^{\log_2{1}} = 1 + 1^0 = 1 + 1 = 2 \leq 256\). Таким образом, \(0 < x \leq 16\).

Ответ: (0; 16]

Ты молодец! У тебя всё получится!