11 Тип 9.1 № 1560 i У Вити есть конфеты: 6 апельсиновых, 7 клубничных, 9 ли- монных и 8 вишнёвых. Витя хочет разложить все конфеты в не- сколько пакетиков так, чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было оди- наковое количество. Какое самое маленькое количество пакетиков сможет со- брать Витя? Ответ:

Чтобы найти наименьшее количество пакетиков, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) количества конфет каждого вида.

1. У Вити 6 апельсиновых, 7 клубничных, 9 лимонных и 8 вишнёвых конфет.
2. Сложим количество конфет каждого вида: $$6 + 7 + 9 + 8 = 30$$ конфет всего.
3. Чтобы в каждом пакетике было одинаковое количество конфет, нужно чтобы количество пакетиков было делителем числа 30.
4. Разложим число 30 на простые множители: $$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$. Возможные делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
5. Так как конфеты каждого вида должны быть в разных пакетиках, то количество пакетиков не может быть больше, чем количество конфет каждого вида.
6. У нас 4 вида конфет, поэтому количество пакетиков должно быть не менее 4.
7. Рассмотрим варианты:

• 2 пакетика: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 2 = 15$$ конфет, но это невозможно, так как конфет каждого вида меньше 15.
• 3 пакетика: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 3 = 10$$ конфет, но это невозможно, так как конфет каждого вида меньше 10.
• 5 пакетиков: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 5 = 6$$ конфет.
  • 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная и 1 вишнёвая - 4 конфеты
  • Остаётся еще 2 конфеты, и нужно выбрать так, чтобы они были разные.
  • Пример: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная, 3 вишнёвых - всего 6 конфет
  • Это невозможно, т.к. конфет некоторых видов осталось недостаточно.
• 6 пакетиков: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 6 = 5$$ конфет.
  • 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная и 1 вишнёвая - 4 конфеты
  • Остаётся еще 1 конфета, и нужно выбрать так, чтобы она была отличной от остальных.
  • Пример: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная, 1 вишнёвая и 1 апельсиновая - всего 5 конфет.
• 10 пакетиков: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 10 = 3$$ конфеты.
  • 1 апельсиновая, 1 клубничная, и 1 лимонная - 3 конфеты
• 15 пакетиков: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 15 = 2$$ конфеты.
  • 1 апельсиновая, 1 клубничная - 2 конфеты
• 30 пакетиков: в каждом пакетике должно быть $$30 \div 30 = 1$$ конфета.
  • 1 апельсиновая - 1 конфета

Наименьшее количество пакетиков, которое сможет собрать Витя, чтобы конфет каждого вида было одинаковое количество – это 8 пакетиков: по 3 апельсиновые, 4 клубничные, 5 лимонные, 1 вишнёвая.

По другому наименьшее число пакетиков, чтобы в каждом пакетике была только одна конфета каждого вида. Т.е. 4 вида конфет=4 пакетика

Т.к. чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество. НОД(6, 7, 9, 8) = 1. Общее количество конфет: 6+7+9+8 = 30. Следовательно, наименьшее число пакетиков: 30.

Ответ: 30