18. Тип 18 № 4090 i В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

Решение:

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, угол A равен 60°, следовательно, угол BAM равен углу MAD и равен 30°. Отрезки AM и DM перпендикулярны.

1. Рассмотрим треугольник AMD: Так как AM и DM перпендикулярны, угол AMD равен 90°.
2. Угол ADM: В треугольнике AMD сумма углов равна 180°, следовательно, угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.
3. Рассмотрим треугольник ABM: Так как AM - биссектриса угла A, угол BAM равен 30°. В параллелограмме ABCD угол ABC (угол B) равен 180° - угол BAD = 180° - 60° = 120°.
4. Угол AMB: В треугольнике ABM сумма углов равна 180°, следовательно, угол AMB = 180° - угол BAM - угол ABM = 180° - 30° - 120° = 30°.
5. Вывод о треугольнике ABM: Так как углы BAM и AMB равны, треугольник ABM равнобедренный, следовательно, AB = BM = 6.
6. Рассмотрим треугольник CMD: В параллелограмме ABCD угол BCD (угол C) равен углу BAD = 60°. Так как AM - биссектриса, угол MAD равен 30°. Угол MDA = углу MAD = 30°. Следовательно, угол MDC = угол ADC - угол MDA = 60° - 30° = 30°.

Определение сторон параллелограмма:

1. Поскольку ABM равнобедренный, AB = BM = 6.
2. Треугольник MCD равнобедренный, следовательно, MC = CD.
3. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, AB = CD и BC = AD.
4. Поскольку BM = 6 и ABCD параллелограмм, то CD = AB = 6.
5. Так как BM = 6 и MC = CD = 6, то BC = BM + MC = 6 + 6 = 12. Следовательно, AD = BC = 12.
6. Периметр параллелограмма ABCD равен 2 * (AB + BC) = 2 * (6 + 12) = 2 * 18 = 36.