7. Тип 17 № 12585 i В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть $$x$$ - количество мышек, а $$y$$ - количество сыра изначально. В первую ночь мышки съели 4 головки сыра, значит, каждая мышка съела $$\frac{4}{x}$$ головки. Во вторую ночь 11 мышек съели оставшийся сыр $$y - 4$$, причём каждая мышка съела в два раза меньше, то есть $$\frac{4}{2x} = \frac{2}{x}$$. Таким образом, получаем уравнение: \[11 \cdot \frac{2}{x} = y - 4\] \[\frac{22}{x} = y - 4\] \[22 = x(y - 4)\] Так как $$x$$ и $$y$$ - целые числа, то $$x$$ является делителем числа 22. Делители числа 22: 1, 2, 11, 22. Если $$x=1$$, то $$y - 4 = 22$$, значит $$y = 26$$. Если $$x=2$$, то $$y - 4 = 11$$, значит $$y = 15$$. Если $$x=11$$, то $$y - 4 = 2$$, значит $$y = 6$$. Если $$x=22$$, то $$y - 4 = 1$$, значит $$y = 5$$. Но мы знаем, что в первую ночь мыши съели 4 головки сыра, значит $$y > 4$$. Поэтому все варианты подходят. Так как в первую ночь мышки съели 4 головки сыра поровну, то количество мышек должно быть делителем числа 4. Делители числа 4: 1, 2, 4. Из полученных вариантов только $$x = 1$$ и $$x = 2$$ подходят. - Если $$x=1$$, то $$y = 26$$. В первую ночь единственная мышка съела 4 головки, во вторую ночь 11 мышек съели оставшиеся 22 головки. Каждая мышка съела $$\frac{2}{1} = 2$$ головки, что в два раза меньше, чем 4. - Если $$x=2$$, то $$y = 15$$. В первую ночь две мышки съели 4 головки, то есть каждая съела 2 головки. Во вторую ночь 11 мышек съели оставшиеся 11 головок. Каждая мышка съела $$\frac{11}{11} = 1$$ головку, что в два раза меньше, чем 2. Ответ: 6, 15 или 26