8. Тип 17 № 12765 i Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть задумано двузначное число $$ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры, и число делится на 5, значит $$b = 0$$ или $$b = 5$$. Четырехзначное число, полученное приписыванием $$ab$$ к $$ab$$, будет $$abab$$. Его можно представить как $$1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b) = 101 \cdot ab$$. По условию $$abab$$ делится на 11. Значит, $$101 \cdot ab$$ делится на 11. Так как 101 не делится на 11, то $$ab$$ должно делиться на 11. Двузначные числа, делящиеся на 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Так как $$ab$$ делится на 5, то $$b = 0$$ или $$b = 5$$. Значит, из чисел, делящихся на 11, нам подходит только 55. Ответ: 55