25. Тип 25 № 311708 i В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В, проведена биссектриса угла А. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведенный к стороне ВС в точке К. Найдите угол ВСК, если известно, что угол АСВ равен 40°.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена биссектриса угла A, которая пересекает серединный перпендикуляр к стороне BC в точке K.

Пусть угол ACB равен 40°. Тогда угол BAC равен 90° - 40° = 50°.

Так как AK - биссектриса угла A, то угол BAK = угол CAK = 50° / 2 = 25°.

Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает BC в точке M. Тогда KM перпендикулярен BC, и угол KMB = 90°.

Рассмотрим треугольник KMC. Так как KM - серединный перпендикуляр к BC, то KM является высотой и медианой. Следовательно, треугольник KBC равнобедренный, и KB = KC.

Угол KBC = угол KCB. Пусть угол KCB = x. Тогда угол KMC = 90°.

Рассмотрим треугольник ABC: угол ABC = 90°, угол ACB = 40°, угол BAC = 50°.

Рассмотрим треугольник ABK: угол ABK + угол BAK + угол AKB = 180°.

Рассмотрим треугольник AKC: угол AKC + угол KCA + угол CAK = 180°.

Угол ВСК = угол КCB = x.

Так как треугольник KBC равнобедренный, то углы при основании равны: угол KBC = угол KCB = x.

Угол ABC = угол ABK + угол KBC = 90°. Угол ACB = 40°.

Так как KB = KC, то угол KBC = углу KCB. Значит угол KCB = углу KBC.

Пусть угол BCK = x.

Так как KM - серединный перпендикуляр, то $$ \angle KMC = 90^{\circ} $$.

В треугольнике KMC: $$ \angle KMC + \angle MCK + \angle MKC = 180^{\circ} $$

$$ 90^{\circ} + 40^{\circ} + \angle MKC = 180^{\circ} $$, отсюда $$ \angle MKC = 50^{\circ} $$.

Угол CKB = 180 - 2x

Имеем угол BCK = 25

Ответ: 25