18. Тип 18 № 3514 i В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, рав ного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

Обозначим трапецию ABCD, где AB и CD - боковые стороны, AD и BC - основания, причем BC < AD, угол BAC = 45°/2 = 22.5°. Так как трапеция прямоугольная, угол ABC = 90°, и угол BAD = 45° (по условию). Поскольку AC - биссектриса угла A, то угол BAC = углу CAD = 45°/2 = 22.5°. Из этого следует, что треугольник ABC - прямоугольный, и угол ACB = 90° - 22.5° = 67.5°.

В треугольнике ACD угол CAD = 22.5°. Поскольку AD || BC, угол BCA = углу CAD = 22.5° (как внутренние накрест лежащие углы), что противоречит предыдущему выводу о том, что угол ACB = 67.5°. Значит, условие задачи содержит противоречие, либо трапеция не прямоугольная, либо диагональ AC не является биссектрисой угла A.

Поскольку трапеция ABCD прямоугольная, угол A = 90°. Диагональ AC является биссектрисой угла A, значит угол BAC = 45°. Так как трапеция прямоугольная, угол B = 90°. Рассмотрим треугольник ABC: угол BAC = 45°, угол ABC = 90°, следовательно угол ACB = 180° - 90° - 45° = 45°. Получается, что треугольник ABC равнобедренный, AB = BC. Так как меньшее основание трапеции BC = 10\sqrt{2}, то AB = 10\sqrt{2}.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол BAD = 90°, AB = 10\sqrt{2}. Чтобы найти BD, нужно знать длину AD. Так как AD || BC, угол BCA = углу CAD = 45° (как внутренние накрест лежащие углы). Тогда треугольник ACD также равнобедренный, CD = AD.

Опустим высоту CH на основание AD. Тогда AH = AD - BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол CAH = 45°, значит угол ACH = 45°, и AH = CH. Так как AB = CH = 10\sqrt{2}, то AH = 10\sqrt{2}. Тогда AD - BC = 10\sqrt{2}, AD - 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2}, AD = 20\sqrt{2}.

Теперь можно найти BD по теореме Пифагора для треугольника ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2. BD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (20\sqrt{2})^2 = 200 + 800 = 1000, BD = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}.

Ответ: $$10\sqrt{10}$$