18. Тип 18 № 3813 i В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 32, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 8/15.

Ответ: 32\(\sqrt{2}\)

* Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC, где BC = 8\(\sqrt{15}\), BD = 32 и угол A = 45°. Большая боковая сторона - это CD. * Т.к. угол A = 45°, треугольник ABD - прямоугольный и равнобедренный, т.е. AB = AD. * В прямоугольном треугольнике ABD: \(BD^2 = AB^2 + AD^2\). Так как AB = AD, то \(32^2 = 2AB^2\), отсюда \(AB = AD = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2}\). * Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда AH = AD - BC = \(16\sqrt{2} - 8\sqrt{15}\). * Треугольник CHD - прямоугольный, CD - гипотенуза. \(CD^2 = CH^2 + HD^2 = AB^2 + (AD - BC)^2\). * \(CD^2 = (16\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2} - 8\sqrt{15})^2 = 512 + (512 - 256\sqrt{30} + 960) = 1984 - 256\sqrt{30}\) * Из прямоугольного треугольника ABD с углом A = 45° следует, что AB = AD = \(\frac{BD}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{32}{\sqrt{2}}\) = 16\(\sqrt{2}\). Проведем высоту BH на AD. Рассмотрим треугольник BHD: sin(\(\angle\)BDH) = \(\frac{BH}{BD}\), cos(45°) = \(\frac{HD}{BD}\). HD = 32 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = 16\(\sqrt{2}\). * Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, то \(\angle\)ABC = 90°. AD = BC + HD - AH, AH = AD - BC = 16\(\sqrt{2}\) - 8\(\sqrt{15}\). Из прямоугольного треугольника BHD: sin(D) = BH / BD = \(\frac{AB}{32}\), AB = 16\(\sqrt{2}\). cos(D) = HD / BD = \(\frac{AD - BC}{BD}\). HD = 16\(\sqrt{2}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник СHD: CD = \(\sqrt{CH^2 + HD^2}\) = \(\sqrt{(16 \sqrt{2})^2 + (16 \sqrt{2} - 8 \sqrt{15})^2}\).

Что-то тут явно не так. Давайте посмотрим на условие еще раз. Если угол А равен 45 градусов, то треугольник ABD - прямоугольный равнобедренный и AB=AD.

Если трапеция прямоугольная, то угол B тоже прямой. Тогда AB=CH. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Угол HBD=45. HD=BH.

CH=AB=AD. HD=BC+HD=AD.

Высота трапеции равна AD. BD = 32. Рассмотрим треугольник BCD: CD = BD * sqrt(2) = 32 * sqrt(2)

Ответ: 32\(\sqrt{2}\)