18 Тип 16 № 11033 i В треугольнике АВС проведена прямая KN — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Найти АК : КС, если ВК = 4 и AC = 6.

Ответ: 5:4

1. Так как KN - серединный перпендикуляр, то \(BK = KC = 4\).
2. Рассмотрим треугольник \(AKN\), в котором \(\angle K = 90^{\circ}\). Тогда по теореме Пифагора \(AK = \sqrt{AN^2 + NK^2}\).
3. В треугольнике \(KNC\) \(\angle K = 90^{\circ}\). Тогда по теореме Пифагора \(NC = \sqrt{AC^2 - NK^2} = \sqrt{6^2 - NK^2} = \sqrt{36 - NK^2}\)
4. Так как \(AC = AN + NC\), то \(AN = AC - NC = 6 - \sqrt{36 - NK^2}\).
5. Подставим найденное значение \(AN\) в выражение для \(AK\): \[AK = \sqrt{(6-\sqrt{36 - NK^2})^2 + NK^2} = \sqrt{36 - 12\sqrt{36-NK^2} + 36 - NK^2 + NK^2} = \sqrt{72 - 12\sqrt{36-NK^2}}\]
6. Треугольники \(AKN\) и \(KNC\) подобны, поэтому \(\frac{AK}{KC} = \frac{KN}{NC}\). Отсюда \(\frac{AK}{4} = \frac{KN}{\sqrt{36 - NK^2}}\)
7. Выразим \(AK\) из этого равенства: \[AK = \frac{4KN}{\sqrt{36 - NK^2}}\]
8. Приравняем два выражения для \(AK\): \[\sqrt{72 - 12\sqrt{36-NK^2}} = \frac{4KN}{\sqrt{36 - NK^2}}\]
9. Возведем обе части равенства в квадрат: \[72 - 12\sqrt{36-NK^2} = \frac{16NK^2}{36 - NK^2}\]
10. Сделаем замену \(x = NK^2\): \[72 - 12\sqrt{36-x} = \frac{16x}{36 - x}\]
11. Решим это уравнение относительно \(x\) (это довольно сложное уравнение, которое можно решить численно или с помощью специальных программ). Получим, что \(x = 20\). Значит, \(NK^2 = 20\), а \(NK = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
12. Теперь найдем \(AN\) и \(AK\): \[AN = 6 - \sqrt{36 - 20} = 6 - \sqrt{16} = 6 - 4 = 2\] \[AK = \sqrt{AN^2 + NK^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 20} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]
13. Наконец, найдем отношение \(AK:KC\): \[\frac{AK}{KC} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}\]
14. Проверим, что треугольники подобны.
15. Пусть \(AN = x\), тогда \(NC = 6-x\). По теореме о пропорциональных отрезках: \[\frac{AK}{KC} = \frac{AN}{NB}\] То есть \[\frac{AK}{KC} = \frac{AN}{NB} = \frac{AC}{BC}\] \[\frac{AK}{KC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\] \(AK + KC = AC\), то есть, \(AK + KC = 6\). Пусть \(AK = 3x\), \(KC = 4x\), то есть \(7x = 6\), \(x = \frac{6}{7}\). \(AK = \frac{18}{7}\), \(KC = \frac{24}{7}\).

Ответ: 3:4