22. Тип 22 № 49 i 4 x² - 13x²+36 Постройте график функции у = (x-3)(x+2) и определите, при каких значениях параметра с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

$$y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x-3)(x+2)}$$

Разложим числитель на множители.

Пусть $$t = x^2$$, тогда $$t^2 - 13t + 36 = 0$$.

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$$

$$t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13+5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13-5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x^2 = 9$$ или $$x^2 = 4$$.

$$x = \pm 3$$ или $$x = \pm 2$$.

Таким образом, $$x^4 - 13x^2 + 36 = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2)$$.

$$y = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}$$

При $$x
eq 3$$ и $$x
eq -2$$: $$y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6$$.

$$y = x^2 + x - 6$$ - парабола.

Вершина параболы: $$x_v = -\frac{1}{2}$$, $$y_v = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$$

При $$x = 3$$: $$y = (3+3)(3-2) = 6 \cdot 1 = 6$$.

При $$x = -2$$: $$y = (-2+3)(-2-2) = 1 \cdot (-4) = -4$$.

Прямая $$y=c$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы ($$c = -6.25$$), или через выколотые точки ($$c = 6$$ или $$c = -4$$).

Ответ: $$c = -6.25$$, $$c = 6$$, $$c = -4$$