Тип 18 № 3794: К окружности с диаметром $$AB$$ в точке $$A$$ проведена касательная. Через точку $$B$$ проведена прямая, пересекающая окружность в точке $$C$$ и касательную в точке $$K$$. Через точку $$C$$ проведена хорда $$CD$$ параллельно $$AB$$ так, что получилась трапеция $$ABCD$$. Через точку $$D$$ проведена касательная, пересекающая прямую $$AK$$ в точке $$E$$. Найдите радиус окружности, если $$\angle EDC = 30^\circ$$ и $$KB = 10\sqrt{3}$$.

К сожалению, я не могу нарисовать рисунок. Но я помогу решить задачу. Пусть $$O$$ - центр окружности. Так как $$AB$$ - диаметр, то $$\angle ACB = 90^\circ$$. Треугольник $$ACB$$ - прямоугольный. Так как $$CD \parallel AB$$, то $$ABCD$$ - равнобедренная трапеция. $$AK$$ и $$DE$$ - касательные к окружности, проведенные из одной точки $$E$$, следовательно, $$AE = DE$$ и $$\angle OAE = \angle ODE = 90^\circ$$. Тогда $$\triangle AOE = \triangle DOE$$ (по двум катетам). Отсюда следует, что $$\angle AEO = \angle DEO = \frac{1}{2} \angle AED$$. Так как $$DE$$ - касательная, то $$\angle EDC = 30^\circ$$. $$\angle ADE = 90^\circ$$, следовательно, $$\angle EDA = 90^\circ$$. $$\angle AED = 180^\circ - \angle DAE - \angle ADE $$. $$\angle AED = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. $$\angle AEB = \frac{1}{2} \angle AED = 30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ABK$$: $$AB = KB \cdot tg(\angle AKB)$$. $$\angle AKB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. $$AB = 10\sqrt{3} \cdot tg(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30$$. Радиус окружности $$R = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15$$. Ответ: **15**