Тип 17 № 7265: Упростите числовое выражение $$\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57}$$

Сначала заметим, что $$40\sqrt{2} = \sqrt{1600 \cdot 2} = \sqrt{3200}$$. Так как $$57 = \sqrt{57^2} = \sqrt{3249}$$, то $$40\sqrt{2} < 57$$, а значит, $$40\sqrt{2} - 57 < 0$$. Поэтому $$|40\sqrt{2} - 57| = 57 - 40\sqrt{2}$$. Пусть $$x = \sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57}$$. Тогда $$x^2 = (\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} - \sqrt{40\sqrt{2}+57})^2 = |40\sqrt{2}-57| - 2\sqrt{|40\sqrt{2}-57| \cdot (40\sqrt{2}+57)} + (40\sqrt{2}+57) =$$ $$= (57 - 40\sqrt{2}) - 2\sqrt{(57 - 40\sqrt{2}) (57 + 40\sqrt{2})} + (40\sqrt{2} + 57) = 114 - 2\sqrt{57^2 - (40\sqrt{2})^2} =$$ $$= 114 - 2\sqrt{3249 - 1600 \cdot 2} = 114 - 2\sqrt{3249 - 3200} = 114 - 2\sqrt{49} = 114 - 2 \cdot 7 = 114 - 14 = 100$$ Тогда $$x^2 = 100$$, следовательно, $$x = \pm 10$$. Так как $$\sqrt{|40\sqrt{2}-57|} < \sqrt{40\sqrt{2}+57}$$, то $$x < 0$$, значит, $$x = -10$$. Ответ: **-10**