11. Тип 11 № 628. Найдите величину угла AOE, если OE - биссектриса угла АОС, OD - биссектриса угла СОВ, угол BOD = 25°.

Решение: Пусть \(\angle COE = x\) и \(\angle COD = y\). Так как OE - биссектриса угла AOC, то \(\angle AOE = \angle COE = x\). Так как OD - биссектриса угла COB, то \(\angle COD = \angle BOD = y\). По условию, \(\angle BOD = 25^\circ\), значит, \(y = 25^\circ\). Тогда \(\angle AOD = \angle AOE + \angle EOC + \angle COD = x + x + y = 2x + y\). \(\angle AOB = \angle AOC + \angle COB = 2x + 2y\). \(\angle AOD = \angle AOB - \angle DOB\), т.е. \(\angle AOD = \angle AOE + \angle EOC + \angle COD\). Из условия \(\angle BOD = 25^\circ\) следует, что \(y = 25^\circ\). Тогда \(\angle COB = 2y = 50^\circ\). \(\angle AOC = 2x\), а \(\angle AOE = x\). \(\angle AOB = \angle AOC + \angle COB\). Чтобы найти \(\angle AOE\), рассмотрим \(\angle AOD\). \(\angle AOD = \angle AOE + \angle EOC + \angle COD = x + x + 25^\circ = 2x + 25^\circ\). \(\angle AOB = \angle AOD + \angle DOB = 2x + 25^\circ + 25^\circ = 2x + 50^\circ\). \(\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 2x + 50^\circ - 50^\circ = 2x\). Таким образом, \(\angle AOE = x\), а \(\angle EOC = x\). Значит, \(\angle AOC = 2x\). Теперь рассмотрим \(\angle COB\). \(\angle COB = \angle COD + \angle DOB = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ\). \(\angle AOB = \angle AOC + \angle COB\). \(\angle AOB = 2x + 50^\circ\). Выразим \(\angle AOE\) через известные углы. \(\angle AOE = \frac{1}{2} \angle AOC\). В нашем случае, \(\angle AOC = \angle AOB - \angle COB\). Значит, \(\angle AOE = \frac{1}{2} (\angle AOB - \angle COB)\). \(\angle AOB = \angle AOC + \angle COB\). Поскольку \(\angle COB = 2 \cdot \angle DOB = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ\), то \(\angle AOC = \angle AOB - 50^\circ\). Тогда \(\angle AOE = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} (\angle AOB - 50^\circ)\). Однако, нам не хватает информации, чтобы точно определить \(\angle AOE\). Если предположить, что \(\angle AOD = 90^\circ\), тогда: \(\angle AOE = \angle AOD - \angle EOD = \angle AOD - (\angle COD + \angle EOC)\). Если \(\angle AOD = 90^\circ\), то \(\angle AOE = 90^\circ - (25^\circ + \angle EOC)\). Если \(\angle AOC = 50^\circ\), то \(\angle AOE = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\). Если \(\angle AOB = 90^\circ\), то \(\angle AOC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\), и тогда \(\angle AOE = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ\). Если предположить, что углы AOD и DOB смежные, то угол AOD = 180 - 25 = 155 градусов. То есть угол AOC + COB = 155. Угол COB = 50 градусов, угол AOC = 105. AOE = 105/2 = 52.5 Ответ: 25° или 20° или 52.5°, в зависимости от дополнительных условий.