10 Тип 10 № 7449. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18 и BC = 12 - основания, AB = 6 - боковая сторона, и \(\cos(\angle BAD) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Найдём площадь трапеции. 1. Найдём высоту трапеции (h). Известно, что \(\cos(\angle BAD) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Также известно, что \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). Тогда: \[\sin^2(\angle BAD) = 1 - \cos^2(\angle BAD) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\] Следовательно, \(\sin(\angle BAD) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\) (так как угол острый). Высоту \(h\) можно найти, используя синус угла \(\angle BAD\) и боковую сторону AB: \[\sin(\angle BAD) = \frac{h}{AB} \implies h = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\] 2. Найдём площадь трапеции (S). Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\] Подставим известные значения: \[S = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30\] Таким образом, площадь трапеции равна 30. Ответ: 30