13. Тип 13 № 3299. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$4x^2 + 9x + a = 0$$ и $$4x_1 + x_2 = -6$$. Найдите все такие $$a$$.

Используем теорему Виета для квадратного уравнения $$4x^2 + 9x + a = 0$$. Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{9}{4}$$ Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{4}$$ Дано: $$4x_1 + x_2 = -6$$ У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{9}{4} \\ 4x_1 + x_2 = -6 \end{cases}$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$3x_1 = -6 - (-\frac{9}{4}) = -6 + \frac{9}{4} = \frac{-24 + 9}{4} = -\frac{15}{4}$$ $$x_1 = -\frac{15}{4} : 3 = -\frac{15}{4} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{4}$$ Подставим $$x_1$$ в первое уравнение: $$-\frac{5}{4} + x_2 = -\frac{9}{4}$$ $$x_2 = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$$ Теперь найдем $$a$$, используя произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{4}$$ $$(-\frac{5}{4}) \cdot (-1) = \frac{a}{4}$$ $$\frac{5}{4} = \frac{a}{4}$$ $$a = 5$$ Ответ: a = 5