Тип 20 № 412200: Сократите дробь $$\frac{45^n}{32^{n-1} \cdot 5^{n-2}}$$.

Для сокращения дроби $$\frac{45^n}{32^{n-1} \cdot 5^{n-2}}$$, разложим числа в основании на простые множители:

• $$45 = 3^2 \cdot 5$$
• $$32 = 2^5$$

Тогда дробь можно переписать как:

$$ \frac{(3^2 \cdot 5)^n}{(2^5)^{n-1} \cdot 5^{n-2}} = \frac{3^{2n} \cdot 5^n}{2^{5(n-1)} \cdot 5^{n-2}} = \frac{3^{2n} \cdot 5^n}{2^{5n-5} \cdot 5^{n-2}}$$

Теперь сократим дробь, используя свойства степеней:

$$ \frac{3^{2n} \cdot 5^n}{2^{5n-5} \cdot 5^{n-2}} = \frac{3^{2n}}{2^{5n-5}} \cdot \frac{5^n}{5^{n-2}} = \frac{3^{2n}}{2^{5n-5}} \cdot 5^{n - (n-2)} = \frac{3^{2n}}{2^{5n-5}} \cdot 5^2 = \frac{3^{2n} \cdot 25}{2^{5n-5}} $$

Ответ: $$\frac{25 \cdot 3^{2n}}{2^{5n-5}}$$