Тип 14 № 394406. Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартуют (из одного места) по кругу. Через некоторое время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 метров больше его. Третий конькобежец пробегает то расстояние, которое пробежал первый к моменту обгона его вторым, за время, на \(\frac{2}{3}\) мин больше, чем первый. Найдите скорость первого конькобежца в м/мин.

Решение: Пусть скорости конькобежцев v1, v2, v3, образующие геометрическую прогрессию, где q - знаменатель прогрессии, то есть v2 = v1 * q и v3 = v1 * q^2. Когда второй обгоняет первого, разница в пройденном расстоянии равна длине круга L. Значит, v2 * t1 - v1 * t1 = L, где t1 - время до обгона. По условию v2 * t1 - v1 * t1 = 400 => (v2 - v1) * t1 = 400 (v1 * q - v1) * t1 = 400 => v1 * t1 * (q - 1) = 400. Когда третий пробегает то же расстояние, что и первый к моменту обгона второго, время равно t1 + 2/3. Значит, v3 * (t1 + 2/3) = v1 * t1 v1 * q^2 * (t1 + 2/3) = v1 * t1 => q^2 * (t1 + 2/3) = t1 q^2 * t1 + (2/3) * q^2 = t1 => t1 * (1 - q^2) = (2/3) * q^2 => t1 = (2q^2) / (3(1 - q^2)). Подставим t1 в первое уравнение: v1 * (2q^2) / (3(1 - q^2)) * (q - 1) = 400 v1 * (2q^2) / (-3(q + 1)) = 400 v1 = -600(q + 1) / q^2 Так как скорость должна быть положительной, q должно быть меньше -1. Заметим, что скорости должны быть в порядке возрастания или убывания, поскольку они образуют геометрическую прогрессию. Условие задачи говорит, что второй обгоняет первого, следовательно, v2 > v1, значит, q > 1 или q < -1 (так как скорости положительные). Следовательно, q < -1. Однако в школьной математике, в таких задачах редко встречаются отрицательные знаменатели геометрической прогрессии. Скорее всего, в условии задачи есть ошибка. Если бы второй конькобежец отставал от первого, тогда q < 1 и q > 0, так как скорости положительные. Но так как не хватает данных для определения q, то невозможно найти v1. Ответ: Невозможно определить скорость первого конькобежца без дополнительных данных.