7. Тип 1 № 1616. Вычислите: (2/3)^2 + 18^5 / 12^6 : (27/8)^2

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Возводим дроби в степень:
   \[\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]
   \[\left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{729}{64}\]
2. Делим дробь на дробь, заменяя деление умножением на перевернутую дробь:
   \[\frac{18^5}{12^6} : \frac{729}{64} = \frac{18^5}{12^6} \cdot \frac{64}{729}\]
3. Преобразуем числа, чтобы упростить вычисления:
   \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(64 = 2^6\), \(729 = 3^6\)
   Тогда:
   \[\frac{(2 \cdot 3^2)^5}{(2^2 \cdot 3)^6} \cdot \frac{2^6}{3^6} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^6} \cdot \frac{2^6}{3^6} = \frac{2^{5+6} \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^{6+6}} = \frac{2^{11} \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^{12}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18}\]
4. Складываем дроби:
   \[\frac{4}{9} + \frac{1}{18} = \frac{8}{18} + \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}\]

Ответ: \(\frac{1}{2}\)