18. Тип 16 № 1336. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Пусть \(AA_1\) и \(BB_1\) - высоты, опущенные на стороны \(BC\) и \(AC\) соответственно, и пересекаются в точке \(M\). 1. Рассмотрим четырёхугольник \(A_1CB_1M\). Сумма углов в нем равна 360°. Углы \(\angle CA_1M\) и \(\angle CB_1M\) прямые (поскольку \(AA_1\) и \(BB_1\) - высоты). Значит, \(\angle A_1CB_1 + \angle A_1MB_1 = 180^\circ\) По условию, \(\angle BMC = 140^\circ\), следовательно, \(\angle A_1MB_1 = 140^\circ\) (т.к. это один и тот же угол). Тогда: \(\angle ACB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) 2. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то углы при основании равны, т.е. \(\angle BAC = \angle ABC\). Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, \(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) \(\angle BAC = \angle ABC = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ\) Ответ: углы треугольника равны 70°, 70° и 40°.