18. Тип 17 № 694. Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Пусть задуманное двузначное число равно $$ab$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры. Так как число делится на 5, то $$b$$ может быть либо 0, либо 5. Четырехзначное число, полученное приписыванием, имеет вид $$abab$$. Его можно представить как $$1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b)$$. Так как полученное число делится на 11, то $$101(10a + b)$$ должно делиться на 11. Число 101 не делится на 11, значит $$(10a + b)$$ должно делиться на 11. Но $$(10a + b)$$ это и есть наше двузначное число $$ab$$. Теперь рассмотрим возможные варианты: 1. Если $$b = 0$$, то $$10a$$ делится на 11, что возможно только при $$a = 0$$, но тогда число не двузначное. 2. Если $$b = 5$$, то $$10a + 5$$ делится на 11. - Если $$a = 1$$, то $$10 \cdot 1 + 5 = 15$$, не делится на 11. - Если $$a = 2$$, то $$10 \cdot 2 + 5 = 25$$, не делится на 11. - Если $$a = 3$$, то $$10 \cdot 3 + 5 = 35$$, не делится на 11. - Если $$a = 4$$, то $$10 \cdot 4 + 5 = 45$$, не делится на 11. - Если $$a = 5$$, то $$10 \cdot 5 + 5 = 55$$, делится на 11. Значит, задуманное число - 55. Ответ: 55