13 Тип 13 № 101 а) Решите уравнение tg²x+5tgx+6=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

а) Решите уравнение tg²x+5tgx+6=0.

1. Замена переменной:\( t = tg(x) \)
2. Решаем квадратное уравнение: \( t^2 + 5t + 6 = 0 \)Дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)Корни: \( t_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \) \( t_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \)
3. Возвращаемся к исходной переменной: \( tg(x) = -2 \) \( tg(x) = -3 \)
4. Находим решения уравнений: \( x = arctg(-2) + \pi n, n \in Z \) \( x = arctg(-3) + \pi k, k \in Z \)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

1. Для \( x = arctg(-2) + \pi n \):
   \( -2\pi \le arctg(-2) + \pi n \le -\frac{\pi}{2} \)
   \( -2\pi - arctg(-2) \le \pi n \le -\frac{\pi}{2} - arctg(-2) \)
   \( -2 - \frac{arctg(-2)}{\pi} \le n \le -\frac{1}{2} - \frac{arctg(-2)}{\pi} \)
   При \( arctg(-2) \approx -1.107 \):
   \( -2 - \frac{-1.107}{\pi} \le n \le -\frac{1}{2} - \frac{-1.107}{\pi} \)
   \( -2 + 0.352 \le n \le -0.5 + 0.352 \)
   \( -1.648 \le n \le -0.148 \)
   Единственное целое значение \( n = -1 \).
   Тогда \( x = arctg(-2) - \pi \approx -1.107 - \pi \approx -4.249 \)
2. Для \( x = arctg(-3) + \pi k \):
   \( -2\pi \le arctg(-3) + \pi k \le -\frac{\pi}{2} \)
   \( -2\pi - arctg(-3) \le \pi k \le -\frac{\pi}{2} - arctg(-3) \)
   \( -2 - \frac{arctg(-3)}{\pi} \le k \le -\frac{1}{2} - \frac{arctg(-3)}{\pi} \)
   При \( arctg(-3) \approx -1.249 \):
   \( -2 - \frac{-1.249}{\pi} \le k \le -\frac{1}{2} - \frac{-1.249}{\pi} \)
   \( -2 + 0.398 \le k \le -0.5 + 0.398 \)
   \( -1.602 \le k \le -0.102 \)
   Единственное целое значение \( k = -1 \).
   Тогда \( x = arctg(-3) - \pi \approx -1.249 - \pi \approx -4.391 \)

Ответ: а) \( x = arctg(-2) + \pi n, n \in Z \); \( x = arctg(-3) + \pi k, k \in Z \)
б) \( x = arctg(-2) - \pi \approx -4.249 \); \( x = arctg(-3) - \pi \approx -4.391 \)