8. Тип 7 № 12765 Бревно длиной 8 м 50 см разрезают на длинные и короткие заготовки длиной 1 м 20 см и 60 см соответственно. При этом длинных заготовок хотят получить не меньше трёх. Какое наибольшее число коротких заготовок может при этом получиться?

Решение: 1. Переведём все размеры в сантиметры: 8 м 50 см = 850 см, 1 м 20 см = 120 см, 60 см = 60 см. 2. Пусть $$x$$ - количество длинных заготовок (120 см), а $$y$$ - количество коротких заготовок (60 см). Тогда выполняется уравнение: $$120x + 60y = 850$$ Упростим уравнение, разделив обе части на 20: $$6x + 3y = 42.5$$ Умножим на 2, чтобы не было дробного числа: $$12x + 6y = 85$$ Так как $$x \geq 3$$, то попробуем подставить $$x = 3$$: $$12 \cdot 3 + 6y = 85$$ $$36 + 6y = 85$$ $$6y = 85 - 36$$ $$6y = 49$$ $$y = \frac{49}{6} = 8\frac{1}{6}$$. Это не целое число, поэтому не подходит. 3. Попробуем $$x = 4$$: $$12 \cdot 4 + 6y = 85$$ $$48 + 6y = 85$$ $$6y = 85 - 48$$ $$6y = 37$$ $$y = \frac{37}{6} = 6\frac{1}{6}$$. Это тоже не целое число. 4. Попробуем $$x=5$$: $$12 \cdot 5 + 6y = 85$$ $$60 + 6y = 85$$ $$6y = 25$$ $$y = \frac{25}{6} = 4 \frac{1}{6}$$. Тоже не целое. 5. Попробуем $$x=6$$: $$12 \cdot 6 + 6y = 85$$ $$72+6y = 85$$ $$6y = 13$$ $$y = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6}$$. Тоже не целое. 6. Попробуем $$x=7$$: $$12 \cdot 7 + 6y = 85$$ $$84 + 6y = 85$$ $$6y = 1$$ $$y = \frac{1}{6}$$. Тоже не целое. 7. Т.к. количество $$y$$ должно быть целым числом, и $$12x \leq 85$$, нужно найти ближайшее целое решение. Из уравнения $$12x+6y=85$$ выразим $$y = \frac{85-12x}{6}$$. Необходимо чтобы $$85-12x$$ делилось на 6. При $$x=3$$, $$y=49/6$$. При $$x=4$$, $$y=37/6$$. При $$x=5$$, $$y=25/6$$. При $$x=6$$, $$y=13/6$$. При $$x=7$$, $$y=1/6$$. Ни одно из этих решений не дает целое $$y$$. Так как 85 не делится на 6, а 12x должно дать остаток. Значит нужно уменьшить длину бревна на 1 см, получим 84. $$12x+6y=84$$ Если $$x=3$$, $$36+6y=84$$, $$6y=48$$, $$y=8$$. Решение найдено. 8. Проверим можно ли получить больше длинных заготовок и соответственно меньшее количество коротких. Ближайший вариант при $$x=6$$ ($$12 \cdot 6 = 72$$). $$6y = 84-72 = 12$$, $$y = 2$$. Однако нам требуется не меньше 3 длинных заготовок, а количество коротких должно быть наибольшим. Ответ: Наибольшее число коротких заготовок равно **8**.