15. Тип 15 № 4205 Из пункта А в пункт В одновременно вы- ехали два автомобиля. Первый проехал с по- стоянной скоростью весь путь. Второй про- ехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 45 км/ч

Пошаговое решение:

• Пусть S - расстояние между пунктами A и B, а v - скорость первого автомобиля.
• Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно S/v.
• Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути со скоростью v + 9 км/ч.
• Время, затраченное вторым автомобилем на первую половину пути, равно (S/2) / 30 = S/60.
• Время, затраченное вторым автомобилем на вторую половину пути, равно (S/2) / (v + 9) = S / (2(v + 9)).
• Так как оба автомобиля прибыли в пункт B одновременно, то время их движения одинаково:

\[\frac{S}{v} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v+9)}\]

• Разделим обе части уравнения на S (так как S ≠ 0):

\[\frac{1}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v+9)}\]

• Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{1}{v} = \frac{2(v+9) + 60}{120(v+9)}\] \[\frac{1}{v} = \frac{2v + 18 + 60}{120(v+9)}\] \[\frac{1}{v} = \frac{2v + 78}{120(v+9)}\]

• Перекрестно умножим:

\[120(v+9) = v(2v + 78)\] \[120v + 1080 = 2v^2 + 78v\] \[2v^2 + 78v - 120v - 1080 = 0\] \[2v^2 - 42v - 1080 = 0\]

• Разделим обе части уравнения на 2:

\[v^2 - 21v - 540 = 0\]

• Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601\] \[v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36\] \[v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]

• Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч